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naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) RSSフィード

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2009-01-01

はじめに /Preface

| 01:03 | はじめに /Preface - naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) を含むブックマーク はてなブックマーク - はじめに /Preface - naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) はじめに /Preface - naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) のブックマークコメント

  • nonlinear resonance(非線形共鳴)って何

とりあえずスルー


  • qualitatively "定性的に"


  • (Rather than concentrating on symbolic descriptions, we concentrate on) geometric features of the set of possible trajectories

一連のとりうる軌跡の幾何学的特性


  • (Classical mechanics is) deceptively simple
    1. 〔難しそうに見えるが〕見掛けによらずやさしい
    2. 一見やさしそうに見える〔が実は難しい〕

ってどっち? →「伝統的な数学記法で用いられる記号にあいまいさ、というか文脈に依存するところがある」と言ってるので後者か

従来の記法では、ラグランジュ方程式

http://mitpress.mit.edu/sicm/front-Z-G-1.gif

のように書かれる。偏微分が意味をなすためには、ラグランジアン L は位置成分および速度成分 q^i, \dot q^i関数として解釈されなければならないのだが、時間微分 d/dt が意味をなすためには、時刻の関数になるように、ラグランジアンの偏微分にsolution paths(解経路)を挿入しておくべきである。

...

・・・これは、この式を読む人間が(辻褄があうように、適宜)よしなに解釈しているという事なのかな。



で、まあ「複数の意味にとれる記法を使うのはクリアな推論のハンデになるから避けたい・・・ので本書ではよりpreciseな数式記法を用いる事にした・・・われわれの(関数型な)数式記法について詳しくはAppendixを見よ」と。

ここでTeXの復習。いやTeXで数式書いた事ないし。復習じゃなくて勉強。

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^i} - \frac{\partial L}{\partial q^i} = 0

合ってるかな?



例えばさっきのラグランジュ方程式をこの関数記法で書くとこうなる:

D(\partial_2L\circ\Gamma\[q\])-\partial_1L\circ\Gamma\[q\]=0

ラグランジアン L は時刻 t, 座標 x, 速度 v の実数値関数で、その値は L(t,x,v)である。

微分は、関数の特定引数位置に関する微分として表される:例えば \partial_2L は、ラグランジアン関数Lをその2番目の引数(※0ベースで)v について偏微分することで得られる関数を表す。(なるほど)

従来型の、ある「変数」に関する微分として表現される偏微分記法では、文脈に依存するし曖昧さの元になる。ラグランジアンの偏微分は経路関数(path function) q に沿って明示的に評価される。時間微分がとられラグランジュ方程式が立つ。各ステップは明示的であり、暗黙に入れ替わったりはしない。


  • dynamical phenomena - "力学(的)"現象
  • variational mechanics - "変分力学"

  • the motion of systems - 系の運動...?
  • an integral part of the presentation - (presentationの)不可分な、切り離せない一部。(※整数部ではなく)


この本ではSchemeというLISP-1言語(※そんな事かいてない)を使います。Schemeについては良いexpositions(説明、解説)が沢山あります。AppendixにもSchemeの短いイントロダクションがあるよ



この本で使ってるSchemeのバージョンはMIT Scheme(フリーウェア)で、Scmutilsという巨大ソフトライブラリで拡張されていて、多くの数学オブジェクト、シンボル演算等に対し演算子ジェネリックに拡張している上、求積法、(連立?)微分方程式積分、多変数最小化?のような数値法もサポートしている(のでGaucheとか使ってる紳士淑女の皆さまは注意してくらはい)



この本は古典力学をunusualなパースペクティヴから提示する。この本では、運動方程式の導出よりも、運動を理解することに主眼をおいている。非線形力学(nonlinear dynamics)における最近の発見を、(後知恵的に提示するのではなく)道筋を順に追いながら提示していく。古典力学の基礎的な性質(properties)をきっちり理解するために関数的な数学記法を用いる。記法の制約(律則)、方法の定式化、シミュレーション、記号の解析にコンピュータを用いる。

  • afterthought 後からの思い付き、後知恵(の産物)、結果論

この本はMITにおける過去6年の古典力学教育の成果である。

我々の授業の内容は、AbelsonとSussmanの基礎コンピュータ科学のクラスで開発された方法論を公式化するために計算機をどう使っていったら良いかといった知見に基づいた非線形力学太陽系力学(天体力学?)の授業からの着想で始まった。

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