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naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) RSSフィード

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2009-01-08

1.2 配置空間 /Configuration Spaces

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力学系を、質量と位置をもつが内部構造は持たない成分点粒子群から成るものとして考えよう。拡張された物体(extended bodies)は、相互間に特定の空間的関係をもつ多数の成分粒子から成るものと考えうる*1。拡張された物体は、成分粒子相互間の空間的制約ゆえにその形状を保っている。系の全成分粒子の位置を特定することで、系の配置(configuration)が特定される。拡張された物体の形状を決定するような制約が系の部分間に存在するということは、成分粒子群は可能な全ての位置をとれるわけではないことを意味する。系の仮定しうる全配置集合をその系の「配置空間(configuration space)」と呼ぶ。配置空間の次元とは、配置を完全に特定するために与えられるべき変数の最小個数である。配置空間の次元はその系の「自由度(degrees of freedom)」とも呼ばれる*2

制約を受けていない単一の粒子(particle)の場合、配置の指定には3つの変数が必要である。点粒子は3次元の配置空間をもつ。1つ以上の点粒子をもつ系を扱う場合、配置空間はより複雑になる。k個の分離した粒子がある場合、可能な配置を記述するのに 3k 個の変数が必要である。系の部分間に制約が存在する場合、その配置はより低い次元の空間に制限される。例えば、三次元(空間)において2粒子間の距離が固定になるように動くよう制約された2点粒子からなる系は5次元の配置空間をもつ:数値3つで一方の粒子の位置を固定し、あと2つでもう一方の粒子の位置を1つ目の粒子に対し相対的に与えることができる。

ジャグリングピンを考えてみる。ピンの配置は、ピンを作り上げている全原子の位置を与えれば特定される。しかし、より経済的な配置の記述法が存在する。ジャグリングピンが真に剛体である(rigid)という理想化において、ピンの全原子間の距離は一定に保たれる。従って、ピンの配置は原子1つの位置とピンの向きを与えることで特定できる。制約を用いることで、ピンの他の全成分の位置はこの情報をもとに決定可能である。ジャグリングピンの配置空間の次元は6である:空間的位置を特定する変数最小個数は3で、向きを特定する変数最小個数も3である。

系が時間とともに変遷するにつれ、成分粒子は制約下で移動する。各成分粒子の運動は、変化する配置を記述することで特定される。故に、系の運動は配置空間内の経路に沿った変遷として記述することができる。配置経路は関数、即ち任意の時刻における系の配置を与える配置経路(configuration-path)関数として定義することができる。

Exercise 1.2. 自由度 / Degrees of freedom

以下の力学系について、配置空間の自由度を答えよ。

a. 3本のジャグリングピン。

b. 固定された支点に繋がれた剛性の質量をもたない棒に吊るされた質点で構成される球形の振り子。振り子は、剛性の棒が課す制約の下でいかなる方向にも動くことができる。質点は一様な重力の影響下にある。

c. 固定された支点に繋がる質量をもたない剛性の棒に吊るされた質点に、質量をもたない別の剛性の棒が繋がっていて、それに吊るされたもう1つの質点から成る、球形の複振り子。質点は一様な重力の影響下にある。

d. 湾曲した剛性のワイヤーの上を摩擦なしで滑る質点。

e. 一様な重力の影響下にあり、対称軸上の1点で固定された支点に接する、軸対称な剛体から成る独楽。

f. eと同様だが、軸対称ではないもの。

それぞれ

a) 6x3=18

b) 1

c) 2

d) 1

e) 1+1=2

f) 2+1=3

と思うのだけれどどうなんだろう

*1:質量をもつが内部構造をもたない点粒子を質点(point mass)と言うことがよくある。

*2:厳密に言えば、the dimension of the configuration space and the number of degrees of freedom are not the same. The number of degrees of freedom is the dimension of the space of configurations that are "locally accessible." For systems with integrable constraints the two are the same. For systems with non-integrable constraints the configuration dimension can be larger than the number of degrees of freedom. For further explanation see the discussion of systems with non-integrable constraints in section 1.10.3. Apart from that discussion, all of the systems we consider have integrable constraints (they are "holonomic"). This is why we have chosen to blur the distinction between the number of degrees of freedom and the dimension of the configuration space.

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