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naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) RSSフィード

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2009-01-08

1.3 一般化座標 /Generalized Coordinates

| 04:51 | 1.3 一般化座標 /Generalized Coordinates - naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) を含むブックマーク はてなブックマーク - 1.3 一般化座標 /Generalized Coordinates - naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) 1.3 一般化座標 /Generalized Coordinates - naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) のブックマークコメント

特定の配置について話ができるように、配置をラベリングする変数群(set of parameters)を持つ必要がある。系の配置を特定するのに使われる変数を「一般化座標(generalized coordinates)」と呼ぶ。制約されていない自由な粒子を考える。この粒子の配置は、その位置を与えることで特定される。そのためには3つの変数が必要となる。制約されていない粒子は自由度3をもつ。粒子の位置を特定する1つの方法は、何らかの座標軸を選び、それに対する直交座標を指定することである。位置の直行成分が、制約されていない粒子の一般化座標である。あるいは、理想的な平面複振り子を考える:固定点からの距離を剛性の棒によってある与えられた値に制約された質点があり、第2の質点がもう1本の剛性の棒によって最初の質点からの距離をある値に制約されていて、全てが鉛直面に閉じ込められている。配置は2本の棒の向きが与えられれば特定される。これには2つの変数が必要である;平面の複振り子は自由度2をもつ。各々の棒の向きを指定する一つの方法は、棒が鉛直方向に対して成す角度を指定することである。これらの2つの角度は、平面複振り子にとっての一般化座標である。


座標の数は、配置空間の次元数と同じである必要はない。少なくともその次元数だけは必要であるが。必要とされる以上の数の変数を使うことも選べるが、各変数は、可能な配置、即ち配置空間の各要素に系を制限している制約の影響下にある。

上述の平面複振り子にとって、2つの角座標は配置の特定に十分である。何らかの座標軸を選択し、平面上の各質点の直交座標をその座標軸に相対的にとることで一般化座標とすることも可能である。これも良い座標となるが、可能な配置を系の実際の幾何的配置に制限している制約にはっきりと留意しておかなければなるまい。配置空間と同じ次元をもつ座標集合は、座標間の明示的制約を処理しなくてもよいため扱いやすい。従って、当面は配置の座標数が自由度と等しいような定式化のみ考えることにしよう;冗長な座標と明示的制約をもつ系の扱い方は後で学ぶ。

一般に、配置はn次元の空間Mを形成する。n次元の配置空間は、配置空間の要素を実数のnタプルにマッピングする座標関数\chiを選択することでパラメータ化できる。次元が1次元以上あるなら、関数\chiはn個の独立した座標関数*1\chi^i,i=0,...,n-1から成るタプルである。ここで\chi^iは、配置空間のある範囲において定義された実関数である*2。配置空間 M 内において与えられた配置 m について、座標関数の値\chi^i(m)は配置の一般化座標である。一般化座標のおかげで、n次元の配置空間の点をnタプルの実数で特定することができる*3。任意の配置空間について、一般化座標を選ぶ方法は沢山ある。制約なしで動く単一の点についてさえ、直交座標、極座標、その他気に入った座標系を何でも選択可能である。

系の運動は、時刻を配置空間点にマッピングする配置経路によって記述することができる。配置経路に対応するのは、時刻を一般化座標のタプルにマッピングする座標経路(coordinate path)q=\chi\circ\gammaである。自由度が1以上あるなら、座標経路は構造化オブジェクトである:q は成分座標経路関数q^i=\chi^i\circ\gammaから成るタプルである。どの時刻tにおいても、関数q(t)=(q^0(t),...,q^{n-1}(t))は配置の一般化座標である。

座標経路qの微分Dqは、与えられた時刻における配置座標の変化率を与える関数*4である:Dq(t)=(Dq^0(t),...,Dq^{n-1}(t)) 一般化座標の変化率のことを「一般化速度(generalized velocity)」と言う。

我々は、経路のより高次の微分についても同様に座標表現を作ることができる。我々は座標表現を局所タプルにまで拡張する関数*5

\picture(12){(1,11){\line(11,0)}(1,7){\line(10,0)}(1,3){\line(10,0)}(11,1){\line(0,10)}(7,1){\line(0,10)}(3,1){\line(0,10)}} ("chart"と発音する)を導入する:

\picture(12){(1,11){\line(11,0)}(1,7){\line(10,0)}(1,3){\line(10,0)}(11,1){\line(0,10)}(7,1){\line(0,10)}(3,1){\line(0,10)}}_\chi(t,\gamma(t),\cal{D}\gamma(t),...)=(t,q(t),Dq(t),...)

ここでq=\chi\circ\gammaである。関数\picture(12){(1,11){\line(11,0)}(1,7){\line(10,0)}(1,3){\line(10,0)}(11,1){\line(0,10)}(7,1){\line(0,10)}(3,1){\line(0,10)}}_\chiは座標値に依存しない局所タプル (t,\gamma(t),\cal{D}\gamma(t),...)をとり、時刻、その時点における座標移動関数の値、必要な数だけの座標経路関数の高次微分、のタプルとして座標表現を与える。

座標経路q=\chi\circ\gammaが与えられれば、局所タプルの残り(の成分)はそこから算出できる。我々はこれを行う関数を導入する:

\Gamma\[q\](t)=(t,q(t),Dq(t),...)

関数\Gamma\[q\]は座標経路qとその(高次)微分のみに依存する;関数\Gamma\[q\]\chiに、あるいはqが\chi\gammaを合成して作られているという事実のみに依存している。式1.5と1.6の関係より

\Gamma\[q\]=\picture(12){(1,11){\line(11,0)}(1,7){\line(10,0)}(1,3){\line(10,0)}(11,1){\line(0,10)}(7,1){\line(0,10)}(3,1){\line(0,10)}}_\chi\circ\cal{T}\[\gamma\]

が言える。

問題1.3. 一般化座標 /Generalized coordinates

問題1.2の各系について、系の振る舞いを記述するのに使える系の一般化座標を指定せよ。

一般化座標におけるラグランジュ関数 /Lagrangians in generalized coordinates

作用(action)は、特定のラグランジュ関数\cal{L}の為の配置経路区間が持つ性質である。作用は、配置をラベリングするのに使われる座標系には依存しない。

この性質を用い、ラグランジュ関数\cal{L}の座標表現L_\chiを見出すことができる。

作用は

\cal{S}\[\gamma\](t_1,t_2)=\int_{t_1}^{t_2}\cal{L}\circ\cal{T}\[\gamma\]

ラグランジュ関数\cal{L}は 局所タプル\cal{T}\[\gamma\](t)=(t,\gamma(t),\cal{D}\gamma(t),...)関数である。局所タプルには座標表現\Gamma\[q\]=\picture(12){(1,11){\line(11,0)}(1,7){\line(10,0)}(1,3){\line(10,0)}(11,1){\line(0,10)}(7,1){\line(0,10)}(3,1){\line(0,10)}}_\chi\circ\cal{T}\[\gamma\]があり、ここでq=\chi\circ\gammaである。従って、もし*6

L_\chi=\cal{L}\circ\picture(12){(1,11){\line(11,0)}(1,7){\line(10,0)}(1,3){\line(10,0)}(11,1){\line(0,10)}(7,1){\line(0,10)}(3,1){\line(0,10)}}_\chi^{-1}

ならば*7

L_\chi\circ\Gamma\[q\]=\cal{L}\circ\cal{T}\[\gamma\]

である。

左辺には、座標表現の中間表現(intermediary)を用いる関数合成がある;右辺には、座標を含まない2関数の合成がある。作用の座標表現を次のように定義する。

S_\chi\[q\](t_1,t_2)=\int_{t_1}^{t_2}L_\chi\circ\Gamma\[q\]

関数S_\chiは座標経路をとる;関数\cal{S}は配置経路をとる。被積分関数は等式(1.10)により同じなので、その積分は同じ値となる:

\cal{S}\[\gamma\](t_1,t_2)=S_\chi\[\chi\circ\gamma\](t_1,t_2)

従って、任意の座標系において、ある経路に対し同じ作用を与えるラグランジュ関数の座標表現を構築する方法が存在する。

位置と速度のみに依存するラグランジュ関数については、作用は以下のようにも記述できる。

S_\chi\[q\](t_1,t_2)=\int_{t_1}^{t_2}L_\chi(t,q(t),Dq(t))dt

ラグランジュ関数や作用の定義に用いられる座標系は大抵一義的なため、添字は大抵落とされる。

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