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2009-01-03

Chapter 1 - ラグランジュ力学 / Lagrangian Mechanics

| 00:24 | Chapter 1 - ラグランジュ力学 / Lagrangian Mechanics - naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) を含むブックマーク はてなブックマーク - Chapter 1 - ラグランジュ力学 / Lagrangian Mechanics - naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) Chapter 1 - ラグランジュ力学 / Lagrangian Mechanics - naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) のブックマークコメント

この本の主題は運動と、その記述に用いられる数学的な道具である。

何百年にもわたる天体運動の丁寧な観測がそれらの運動の規則性を明らかにし、蝕や合などの現象の精確な予測を可能にした。これらの規則性を定式化し、最終的にはそれを理解しようとする努力が数学の発展、そして数学が物理世界の様相の記述に効果的に利用できるということの発見へとつながった。数学が自然現象の記述に使えるというのは特質すべき事実である。

ジャグラーが投げたピンは、割と予測可能な経路をとり、割と予測可能な回り方で回転する。実際、ジャグリングのスキルはこの予測可能性に大きく依存する。天体の運動を記述するのに用いられる数学的な道具と同じものがジャグリングのピンの動きの記述に使えるというのも特筆すべき発見である。

古典力学では、粒子(particle)系の運動をそれらの相互作用を記述する力によって記述する。ジャグリングのピンのような複雑な物体は、堅固な相互作用力によって固定された空間的関係を維持している無数の粒子としてモデル化することができる。

実際には決して起こらないような系の運動はいくつも考えられる。ジャグリングピンが中空で留まったり、ジャグラーの手に落ちるまでに頭の回りを14周したりすることを想像することはできるが、これらの運動は実際には起こらない。

どうしたら実際に起こりうる運動と、考えられるが決して起こらない運動を区別できるだろうか?おそらく我々は、考えられるあらゆる運動の中から実現可能な運動を識別させてくれる何らかの数学関数を考案することができる。

系の運動は、系の各ピースの毎瞬の位置を与えることで記述可能であり、系の運動のそのような記述を「配置経路(configuration path)」と呼ぶ。配置経路は配置を時刻の関数として特定する。ジャグリングのピンは空中を飛行しながら回転する;ジャグリングピンの配置はピンの位置と向きを与えることで特定される。ジャグリングピンの運動は、ピンの位置と向きを時刻の関数として与えることで特定される。

「configuration」の意味するところは少し分かってきたけれど、自分の理解の助けとして訳語を付けるとしたらどんな訳語がふさわしいだろうか。

  • 配置 / 立体配置 / 空間配置
  • 配位
  • 姿勢

「配位」って化学用語?「配置」という語を使うのは若干違和感があるけどとりあえず「配置」としておく。

我々が探し求める関数は、何らかの配置経路を入力とし、何らかの出力を行う。この関数には、実現可能な経路が入力された場合に特徴的な振舞いを持たせたい。例えば、出力が数値であり、実現可能な経路の場合にのみこの数値がゼロになるように調整するとか。ニュートン運動方程式はこの形式だ;どの瞬間においてもニュートン微分方程式は必ず満たされる。

しかし、洞察とパワーをもっと与えてくれる別の戦略がある:実現可能な経路において最小値をとるような経路識別関数を探すとか -- 実現不可能な経路上では、その関数は実現可能な経路上よりも大きな値を返す。これは「変分的戦略(variational strategy;変分法?)」である:実現可能な経路それぞれに不動点をもつことで、系の運動の中で実現可能なものを識別することができる経路識別関数をそれぞれの物理系に対して考案する*1。多くの系において、その系における実現可能な経路は変分原理(variational principle)によって定式化可能である*2

ニュートンや彼と同世代の者たちによって考案された力学は、系の各粒子の位置、速度、加速度によって系の運動を記述する。ニュートン力学とは対照的に、変分力学(変分的な力学の定式化;variational formulation of mechanics)では、系の運動と関連する質量集合(aggregate quantities)全体によって系の運動を記述する。

ニュートン力学では、力は系のポテンシャルエネルギーの微分としてしばしば記述される。系の運動は、個々の構成分子がその力にどのように反応するかを考慮して決定される。ニュートン力学における運動方程式の定式化は、本質的には粒子単位の記述である。

変分力学では、運動方程式運動エネルギーポテンシャルエネルギーの差分によって定式化される。ポテンシャルエネルギーは系の中の粒子の配置の特性の数値である;運動エネルギーは系の中の粒子の速度によって決定される数値である。ポテンシャルエネルギーも運動エネルギーも、位置や速度の特定方法には依存しない。その違いは系全体の特性であり、系がどのように特定されるかには依存しない。

だから我々は系の記述方法を扱いやすいように自由に選ぶことができる;我々は、ニュートン力学に付いて回る粒子単位の記述から解法されたのである。

変分力学ニュートン力学と比較して数多くのアドバンテージを持っている。系の状態を記述するあるパラメータに対する運動方程式は、そのパラメータの選び方に関わらず同じように導き出される:定式化の方法は座標系の選択に依存しない。系の粒子同士の間に位置的な制約がある場合、ニュートン力学はそれらの制約を維持している力を検討するよう求めてくるが、一方変分的な定式化においては制約は座標の中に組み込むことができる。変分力学は、各保存則間の均整のとれた連繋を明らかにする。

変分力学は、系のどんな運動をも系のすべての可能な運動の文脈の中に置くことができる枠組みを提供する。これらの利点ゆえに我々は変分力学を追求する。

1.1 停留作用の原理 /The Principle of Stationary Action

| 01:35 | 1.1 停留作用の原理 /The Principle of Stationary Action - naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) を含むブックマーク はてなブックマーク - 1.1 停留作用の原理 /The Principle of Stationary Action - naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) 1.1 停留作用の原理 /The Principle of Stationary Action - naoya_t@SICM(べ、べつにあなたのためじゃないんだからね) のブックマークコメント

どの物理系にも、実現可能な経路上では静止する経路識別関数があると仮定しよう。その性質のいくつかをこれから推論していくことにする。

運動に関する見識 /Experience of motion

我々の日常的な経験から、以下のことが示唆される:

  • 物理運動は連続かつ滑らかな配置経路で記述可能である*3ジャグリングピンがある位置から別の位置へジャンプするのを見ることはない。ジャグリングピンが運動の向きを突然変えることもない。
  • 物理系の運動は系の履歴全体に依存するものではない。ジャグリングピンが宙に投げられた後に部屋に入れば、そのピンがジャグラーの手を離れたのがいつかは分からない。我々がドアから入った時点で結果として同じように見える投げ位置や時刻がいくつもある*4。従ってピンの運動はその履歴に依存しない。
  • 物理系の運動は決定論的である。事実、少数のパラメータが系履歴の重要な様相(aspect)を要約し、その未来の展開を決定する。例えば、ジャグリングピンのいかなる瞬間の位置、速度、向き、向きの変化率をとってみても未来のピンの運動を完全に決定することができる。

実現可能な経路 / Realizable paths

運動についての我々の経験から、実現可能な配置経路について我々はいくらか期待をふくらませる。経路が実現可能ならば、その経路のどの区間をとっても実現可能な経路区間(realizable path segment)である。 逆に言えば、もし経路のすべての区間が実現可能な経路区間であればその経路は実現可能である。

経路区間の実現可能性は、その区間内のすべての経路上の点に依存する。/* 経路区間の実現可能性は、同様に経路区間上のすべての点に依存する;経路のどの部分も例外ではない。*/ 経路区間の実現可能性は、経路区間内の点のみに依存する;経路区間の実現可能性は局所的な属性(property)である。

従って経路識別関数は、経路区間に沿って各瞬間に測られるいくつかの系の局所的属性値を集約する。経路に沿った各瞬間は差別なく扱われなければならない。経路区間に沿った各瞬間の寄与は、非同一(disjoint)な副区間からの寄与からの独立を維持しながら統合されなければならない(?)。経路のいくつかの局所的属性値の、その経路区間における積分として経路識別関数を作成するのが、これらの要求を満たす統合方法のひとつである*5

従って、経路に沿った局所的属性値の積分として構築される経路識別関数が、実現可能などんな経路に対しても極値をとるように調整を試みたい。そのような経路識別関数は伝統的に、系への作用(action for the system)と呼ばれる。この「作用(action)」という用語を我々は一般的な用法との一貫性をもたせて使う。おそらく「経路識別関数」と呼び続けるほうがより明確であろうが、他の者たちには我々が何を話しているのか分かりにくくなるであろう*6

変分力学アジェンダを辿っていくにあたり、我々は調べている系の実現可能な軌道上で定常値になる作用関数を考案しなければならない。各瞬間における配置経路のいくつかの局所的属性値の積分である作用についてこれから検討していく。γを配置経路関数とする;γ(t) は時刻 t における配置である。時刻t_1からt_2の間の経路区間の作用は*7

S\[\gamma\](t_1,t_2)=\int_{t_1}^{t_2}\cal{F}\[\gamma\]

ここで\cal{F}\[\gamma\]は、経路のいくつかの局所的属性値を計る時刻の関数である。この関数はその時刻における関数γの値と、その時刻におけるγの微分に依存する*8

  • path : 通り道、通路、経路、軌道、進路
  • trajectory : 軌道、曲線、弧、弾道、軌跡

ある瞬間の配置経路は、配置、配置変化率、与えられた瞬間における配置のすべての高次微分によって局所的に記述可能である。これらの情報があれば、その瞬間を含むいくらかの時間的区間において経路は再構築可能である*9。経路の局所的属性値がその経路の局所的な記述以外のものに依存することはない。

関数\cal{F}は配置経路γのいくつかの局所的属性値を測る。

\cal{F}\[\gamma\]は2つに分解できる:片方は局所的記述のいくつかの属性値を測り、もう片方は経路関数から経路の局所的記述を抽出する。系の局所的属性値を測る関数は、特定の物理系に依存する;ある経路から経路の局所的記述を構築する方法は、どの系においても同じである。我々は\cal{F}\[\gamma\]をこれらの2関数の合成:*10

\cal{F}\[\gamma\]=\cal{L}\circ\cal{T}\[\gamma\]

として書くことができる:

関数\cal{T}は、経路をとり、時刻、その時刻における配置、その時刻における配置変化率、その時刻において評価された経路の高次微分値を並べたタプルを返す時刻の関数を返す。経路γと時刻tについて:*11

\cal{T}\[\gamma\](t)=(t,\gamma(t),\cal{D}\gamma(t),...)

必要なだけの微分を含んだこのタプルは以後「局所タプル(local tuple)」と呼ぶ。

関数\cal{L}は調査中の物理系の特定の詳細に依存するが、特定の配置経路に依存することはない。関数\cal{L}は、経路の局所的属性値(実数)を算出する。この属性値を計算するために\cal{L}は局所タプルの有限個の成分しか必要としないことがわかるだろう:経路は、完全な局所的記述から局所的に再構築することができる;\cal{L}が局所タプルの有限個の成分に依存するということは、これが局所的属性値を測っていることを保証している*12

この分解の利点は、経路の局所的記述が検討中の系には依存せず一様なプロセスで計算されることである。系に特有の情報は関数\cal{L}に捕捉される。

関数\cal{L}を系の「ラグランジュ関数(Lagrangian)*13」と呼び、結果の作用

S\[\gamma\](t_1,t_2)=\int_{t_1}^{t_2}\cal{L}\circ\cal{T}\[\gamma\]

を「ラグランジュ作用(Lagrangian action;;作用積分?)」と呼ぶ。ラグランジュ関数は非常に多くの系において見出すことができる。運動エネルギーポテンシャルエネルギーの差になるようにラグランジュ関数を取ることができる事をこれから見ていく。そのようなラグランジュ関数は、時刻と配置と配置変化率のみに依存する。我々はこの系のクラス(class of systems)に焦点をあてていくが、時々より一般的な系についても考察していく。

系の実現可能な経路は、隣接する一連の実現不可能な経路に対して停留作用(stationary action)を持つことにより他の(実現可能でない)経路と区別されることになる。さて、実現可能な経路の近くにあるいくつかの経路もまた実現可能である:ジャグリングピンのいかなる運動についても、ほんの少し異なる別の運動が存在する。従って、経路の変種に対して作用が停留かどうかという質問をする際には、検討する経路群に実現可能な経路が1本だけ含まれるようなんらかの方法で制限しなくてはならない。配置と配置変化率のみに依存するラグランジュ関数にとって、経路区間の両端において同じ配置をもつよう経路群を制限するだけで十分である。

停留作用の原理(The principle of stationary action)*14は、時刻t1およびt2において配置が接続する実現可能な一経路が作用S\[\gamma\](t_1,t_2)が経路の変種について停留(stationary)であるという事実によって他の考えうるあらゆる経路と区別されるようなラグランジュ関数を個々の力学系(dynamical system)において作成できると表明する。配置と配置変化率のみに依存するラグランジュ関数にとって、変種はt_1,t_2において配置を保存するものに制限される*15

問題1.1 フェルマー光学原理 / Fermat optics

フェルマーは反射・屈折の法則が以下の事実によって説明されうることを観測した:光はいかなる媒体においても媒体に依存する速度をもって直線を描いて進む。どのような順に媒体を通過しようが、光線がとる光源から到達点への経路は、隣接する経路と比較して最短時間の経路をとる。これらの事実が反射・屈折の法則を暗示していることを示せ*16

*1関数不動点(stationary point)とは、入力値が変化してもその関数の値が変化しない点のことである。極大/極小(local maxima/minima)は不動点である。

*2The variational formulation successfully describes all of the Newtonian mechanics of particles and rigid bodies. The variational formulation has also been usefully applied in the description of many other systems such as classical electrodynamics, the dynamics of inviscid fluids, and the design of mechanisms such as four-bar linkages. In addition, modern formulations of quantum mechanics and quantum field theory build on many of the same concepts. However, it appears that not all dynamical systems have a variational formulation. For example, there is no simple prescription to apply the variational apparatus to systems with dissipation, though in special cases variational methods can still be used.

*3Experience with systems on an atomic scale suggests that at this scale systems do not travel along well defined configuration paths. To describe the evolution of systems on the atomic scale we employ quantum mechanics. Here, we restrict attention to systems for which the motion is well described by a smooth configuration path.

*4Extrapolation of the orbit of the Moon backward in time cannot determine the point at which it was placed on this trajectory. To determine the origin of the Moon we must supplement dynamical evidence with other physical evidence such as chemical compositions.

*5We suspect that this argument can be promoted to a precise constraint on the possible ways of making this path-distinguishing function.

*6Historically, Huygens was the first to use the term "action" in mechanics, referring to "the effect of a motion." This is an idea that came from the Greeks. In his manuscript "Dynamica" (1690) Leibniz enunciated a "Least Action Principle" using the "harmless action," which was the product of mass, velocity, and the distance of the motion. Leibniz also spoke of a "violent action" in the case where things collided.

*7A definite integral of a real-valued function f of a real argument is written \int_a^b f. This can also be written \int_a^b f(x) dx. The first notation emphasizes that a function is being integrated.

*8Traditionally, square brackets are put around functional arguments. In this case, the square brackets remind us that the value of \cal{S} may depend on the function \gamma in complicated ways, such as through its derivatives.

*9In the case of a real-valued function, the value of the function and its derivatives at some point can be used to construct a power series. For sufficiently nice functions (real analytic), the power series constructed in this way converges in some interval containing the point. Not all functions can be locally represented in this way. For example, the function f(x) = exp( - 1/x2), with f(0) = 0, is zero and has all derivatives zero at x = 0, but this infinite number of derivatives is insufficient to determine the function value at any other point.

*10ここで o は関数の合成: (f \circ g)(t) = f(g(t) ) を意味する。我々の記法では、経路依存関数のその経路への適用は合成より優先順位が高いので、\cal{L}\circ\cal{T}\[\gamma\]=\cal{L}\circ(\cal{T}\[\gamma\])である。

*11The derivative \cal{D}\gamma of a configuration path \gamma can be defined in terms of ordinary derivatives by specifying how it acts on sufficiently smooth real-valued functions f of configurations. The exact definition is unimportant at this stage. If you are curious see footnote #23.

*12We will later discover that an initial segment of the local tuple is sufficient to determine the future evolution of the system. That a configuration and a finite number of derivatives determine the future means that there is a way of determining all of the rest of the derivatives of the path from the initial segment.

*13The classical Lagrangian plays a fundamental role in the path-integral formulation of quantum mechanics (due to Dirac and Feynman), where the complex exponential of the classical action yields the relative probability amplitude for a path. The Lagrangian is the starting point for the Hamiltonian formulation of mechanics (discussed in chapter 3), which is also essential in the Schrödinger and Heisenberg formulations of quantum mechanics and in the Boltzmann-Gibbs approach to statistical mechanics.

*14The principle is often called the "principle of least action" because its initial formulations spoke in terms of the action being minimized rather than the more general case of taking on a stationary value. The term "principle of least action" is also commonly used to refer to a result, due to Maupertuis, Euler, and Lagrange, which says that free particles move along paths for which the integral of the kinetic energy is minimized among all paths with the given endpoints. Correspondingly, the term "action" is sometimes used to refer specifically to the integral of the kinetic energy. (Actually, Euler and Lagrange used the vis viva, or twice the kinetic energy.)

*15Other ways of stating the principle of stationary action make it sound teleological and mysterious. For instance, one could imagine that the system considers all possible paths from its initial configuration to its final configuration and then chooses the one with the smallest action. Indeed, the underlying vision of a purposeful, economical, and rational universe played no small part in the philosophical considerations that accompanied the initial development of mechanics. The earliest action principle that remains part of modern physics is Fermat's principle, which states that the path traveled by a light ray between two points is the path that takes the least amount of time. Fermat formulated this principle around 1660 and used it to derive the laws of reflection and refraction. Motivated by this, the French mathematician and astronomer Pierre-Louis Moreau de Maupertuis enunciated the principle of least action as a grand unifying principle in physics. In his Essai de cosmologie (1750) Maupertuis appealed to this principle of ``economy in nature'' as evidence of the existence of God, asserting that it demonstrated ``God's intention to regulate physical phenomena by a general principle of the highest perfection.'' For a historical perspective on Maupertuis's, Euler's, and Lagrange's roles in the formulation of the principle of least action, see [28].

*16反射において、入射角は反射角に等しい。屈折はスネルの法則で記述される: 光がある媒体から他の媒体へ通過する際、接触面の法線と光がなす角度の正弦の比率は媒体の屈折率の逆数である。屈折率は真空中の光速度の媒体中の光速度に対する比率である。

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